جواب کاردرکلاس صفحه 51 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 51 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین برای درک تفاوت بین حد در بی‌نهایت (Infinite Limit) در توابع گویای با توان زوج و توان فرد بسیار مهم است. برای توابعی که در نزدیکی یک نقطه دارای **مجانب عمودی** هستند، حد باید از هر دو طرف (چپ و راست) بررسی شود. 🚀 --- ### الف) محاسبه $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$ برای محاسبه $\lim_{x \to 0} f(x)$، باید حد چپ و راست را بررسی کنیم. تابع ما $f(x) = \frac{1}{x^2}$ است که دارای مجانب عمودی در $x=0$ است. #### 1. حد راست ($\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2}$) * **روش تحلیلی:** وقتی $x \to 0^+$ (عدد بسیار کوچک مثبت)، $x^2$ نیز عدد بسیار کوچک و **مثبت** خواهد بود ($0^+$). $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ * **روش نموداری:** از روی نمودار $f(x) = \frac{1}{x^2}$ در شکل سمت راست، می‌بینیم که وقتی از سمت راست به $x=0$ نزدیک می‌شویم، منحنی به سمت بالا ($\mathbf{+\infty}$) می‌رود. #### 2. حد چپ ($\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^2}$) * **روش تحلیلی:** وقتی $x \to 0^-$ (عدد بسیار کوچک منفی)، $x^2$ همچنان عدد بسیار کوچک و **مثبت** خواهد بود (زیرا توان زوج، علامت منفی را از بین می‌برد). $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ * **روش نموداری:** از روی نمودار می‌بینیم که وقتی از سمت چپ به $x=0$ نزدیک می‌شویم، منحنی نیز به سمت بالا ($\mathbf{+\infty}$) می‌رود. #### 3. نتیجه نهایی چون حد چپ و راست با هم برابرند ($\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty$): $$\mathbf{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty}$$ --- ### ب) محاسبه $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ برای محاسبه $\lim_{x \to 0} g(x)$، باید حد چپ و راست را بررسی کنیم. تابع ما $g(x) = \frac{1}{x}$ است که دارای مجانب عمودی در $x=0$ است. #### 1. حد راست ($\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}$) * **روش تحلیلی/نموداری:** همانطور که در فعالیت‌های قبلی دیدیم، وقتی $x \to 0^+$، مقدار $\frac{1}{x}$ به سمت **$+\infty$** می‌رود. $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$$ #### 2. حد چپ ($\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}$) * **روش تحلیلی/نموداری:** وقتی $x \to 0^-$، مقدار $\frac{1}{x}$ به سمت **$-\infty$** می‌رود. $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$$ #### 3. نتیجه نهایی چون حد چپ و حد راست با هم **برابر نیستند** ($\lim_{x \to 0^+} g(x) \neq \lim_{x \to 0^-} g(x)$): $$\mathbf{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \text{ وجود ندارد.}}$$